Скажите нужен ли ВНЖ в Сербии, чтобы подключить интернет в квартиру?

Не.

Зависит от провайдера. У MTS и Yettel нужен. Есть провайдер, у которого не нужен, но там интернет сильно дороже. Поэтому лучше просить хозяина оформить на себя.