регистрация оформляется в том же учреждении, где оформляется соц. карта?

Насколько я знаю регистрация производится в паспортном столе по месту, где вы хотите зарегистрироваться. А соц карту можно получить в любом паспортном столе без привязки к месту регистрации.

Да.