Подскажите, пожалуйста, где можно в Таллине положить наличку на карту американского банка?

Вероятность минимальная. Тем более условия зачисления в банках разные. Если в Эстонии есть у вас счет, узнайте в своем банке. А если нет, то узнайте о системах междунар переводов .

Если у вас на руках есть эта карта, то можно зайти в любой банк в Таллинне и спросить там , как возможно сделать перевод. Это будет вернее, чем частные мнения)

"Положить деньги на карту" - это значит зачислить деньги на счёт в упомянутом Вами американском банке. То есть, надо перечислять деньги в США, на тот банковский счёт, к которому как инструмент доступа к средствам эмитирована карта... Обычно делается по банковским реквизитам, но мероприятие непростое. По обычной схеме сперва открывается счёт в эстонском банке, а уже потом на него зачисляются средства и перечисляются в США по реквизитам Вашего счета.