Если у меня нет банковской карты, то могу как то с аэропорта Тбилиси доехать до центра на автобусе ?

Вроде нет, только такси. Поменяйте рубли/доллар/евро в аэропорту на лари. Такси до центра будет стоить не дороже 30 лари (Яндекс. Такси), частники хотят намного больше , смотря как договоритесь ) Скачайте приложение и выберете оплата наличкой. Попробуйте работает или нет. На крайний случай попросите с кем-нибудь в аэропорту разделить такси до города.

337 автобус. Я бы зада вопрос иначе, кто покупал проездной в аэропорту.