кто-нибудь забирал свои посылки из аэропорта, пока они не успели доехать до почты? Слышала, что так можно, но интересен опыт людей.

Нельзя. Ничего в аэропорту не выдают, если только это не частная посылка из рук в руки. Посылки официальные поступают на международный почтамт в районе Северного вокзала, проходят там таможенные процедуры - затем Ташкентский главпочтамт возле Алайского - затем локальное почтовое отделение.