кто проходил границу в аэропорте Улан-Батора, строго проверяют срок действия загранпаспорта? Были ли случаи когда не пропускали если меньше 6 месяцев и что тогда говорят делать?

Для страны, где вам виза не нужна, такое правило не распространяется, все зависит от пограничника, он может и не пустить с новым паспортом. Главное чтобы успели выехать пока еще паспорт действует.