В Батуми принято сдавать использованные батарейки или тупо - в мусорку?

Конечно, не выкидывать. Пункты приема есть в магазинах, кафе. Около дельфинария пункт раздельного сбора мусора, включая разные виды пластика. Возможно есть и сбор батареек.

Местные выбрасывают. Но есть одно очень классное место в старом городе, на Ахмеда Мелашвили, Recycleaf. Это маленькое производство - переработка отходов и музейчик симпатичный. Батарейки там не перерабатывают, но принимают и отвозят в Тбилиси на утилизацию.