Скажите, при получении загранпаспорта на Северном Кипре паспорт РФ забирают в какой-то момент? И обязательно ли его вообще предъявлять?

Нет, не забирали. Необязательно.

Не обязательно. На сайте ведь все написано. Внутреннего паспорта может не быть. В любом случае забирают у вас только 80 евро.

Конечно не забирают, но нужно иметь его копию.