По своему паспорту не могу купить билет из России в Турцию, так как срок его действия менее 120 дней, могу ли я указать при покупке билета номер икамета?

Икамет вам даст возможность въезда только при том условии, что паспорт соответствует всем требованиям. В том числе правилу, что он действует более 120 дней на момент въезда. Для авиакомпании на международном перелет икамет не является проездным документом. И даже если вы сможете купить билет по паспорту и сайт не будет ругаться про 120 дней, то велика вероятность, что вас авиакомпания просто на рейс не посадит.