рабочая виза в Монголию бывает?

Да бывает.

Да, но мало кто из работодателей готов платить налог на иностранных рабочих равный двум прожиточным минимумам. Специалист должен быть действительно квалифицированным.

Очень редко её дают, в основном учебную визу делают.

Бывает, но дорого! А учебная дешевле!