Визу дали на полгода, а на паспортном контроле пограничник поставил штамп и написал 13 мая. То есть три месяца. Почему?

Это срок, за который надо успеть податься на ИРП. После вылета из страны и возвращения, штамп не обновят.

На самом деле податься за 3 месяца может и не реально (например если вы сначала записываетесь на подачу через 2 месяца, а в процессе ожидания переезжаете из дублина, тогда надо записываться уже в местную гарду и там свои сроки).