Ездят ли автобусы с улан-удэ до улан-батора?

Да, по-моему даже есть прям регулярные маршруты с автовокзала УД.

Да, ездят. Отправление каждый день (вне зависимости от праздников и погоды) в 7: 30 по местному времени.