В Белграде пишут что получение визы до 5 дней. Но после заполнения анкеты и выхода на оплату, система говорит что дат нет. Есть ли выход из этой ситуации или что-то не так делаем?

Да нету выхода. Искать другие страны, где очередь год. Либо сидеть неделями и смотреть даты в Белграде.

До 5 дней от собеседования до получения визы в случае одобрения, а не до ближайшего места свободного.