Подскажите пожалуйста, кто летал, про эту компанию Flyone - есть ли бесплатная регистрация? По какому паспорту лучше лететь чтобы не было путаницы?

Поставьте их приложение на смартфон и регистрируйтесь бесплатно за 24 - 4 часа до полёта. Строго следуйте их правилам. Летите по загран паспорту, если он имеется и если нет особенных оснований делать иначе (как то: поездки в Баку, например, или слишком много штампов и т. п.)