у меня срок действия загранпаспорта заканчивается в апреле, меня запустят в Монголию на выходные? или не стоит даже пытаться?

Запустят. Будьте уверены. Если что, то в Улан-Баторе ( посольства) или в городе Дархане или в г. Эрдэнэт сможете его продлить. Там есть консульство РФ.