Нужен ли обратный билет с визой ф4? И нужно ли заполнять миграционную карту? И что лучше прописывать в ней? Можно ли прямо писать работа?

Билет обр не нужен.

Обратный билет не надо, миграционную карту надо заполнять, можно писать на работу (эта виза разрешает работать после процедуры оформления id карты, оформления телефона и счёта в банке, иногда в этом помогает работодатель, оформляетесь на работу легально на продолжительное время.

Ф4 - это виза фактически для облегчения иммиграции этнических корейцев на историческую родину. Поэтому пишите правду... приехал работать, хочу остаться жить... и т. п. Билет обратный естесственно не обязателен, т. к фактически по ней вы можете больше вообще легально больше не выезжать из Кореи)