бывают ли организации кто в России ( Москве) помогает не с поиском, а, скажем так, с раздобычей документов?

Если Вам сказали про "хоть какие-то документы", то это немного упрощает задачу. Попробуйте самостоятельно запросить личное дело отца в вузе, на каких-то прошлых местах его работы. Попробуйте запросить копии домовых книг по старым адресам, если они Вам известны. Возьмите в МФЦ расширенную справку к своему СОР, возможно, там будут какие-то новые для Вас данные об отце - и дальше можно будет их "разматывать".