Подскажите, где можно взять в аренду машину в Иркутске (или можно в Улан-Уде), чтобы на ней попутешествовать по Монголии в конце апреля - начале мая? Есть ли компании, которые дадут машину с доверенностью, с которой пустят в Монголию?

Не советую арендную машину. Ехали как-то в Монголию, так перед нами была семья из Владивостока. Машина из Иркутска. Доверенность не от собственника, а "каршеринг" или типа того. В договоре было оговорено что можно выезжать за пределы РФ, но то ли ошибка в слове, то ли отсутствие дополнительной запятой. Но их развернули обратно провозившись часов шесть.

Тонкости не подскажу, но за проблемой наблюдали всей очередью.

За границу не дадут в аренду. В Монголии возьмите.

В Монголии дороги очень не плохие, если не соваться к Хорго или ехать через перевалы или к Гоби. Монголы а приусах в такие дебри заезжают, куда я на сурфе не рискую лезть. Но в любом случае, арендованную машину в Монголию не пустят, да и риск большой. Для вас же, в первую очередь.