в Монголию через Кяхту на машине чтобы проехать, какие правила? Машина зарегистрирована на другого человека, он не поедет. В этом случае нас пропустят?

Нотариальная доверенность.

Загранник и не иметь судебных задолженности.

Доверенность нужна. А страховку в Алтанбулаге оформите.

Я проехал по ОСАГО, без доверенности. Просто вписан в ОСАГО.

Нотариальная доверенность.

Только с нотариальной доверенностью в которой прописано что вы имеете право пересекать а этой машине гос границу РФ.