Подскажите, пожалуйста, мы планируем приехать в Алматы и искать там квартиру на длительный срок.

Если на весь срок пребывания, то однократно. У уведомлений есть конечная дата. После неё ув. подается заново.

Вообще по хорошему предупреждайте арендодателя, что вы не граждане РК. Подавать уведомление в течение 3х дней это ИХ обязанность. В противном случае их ждет в первый раз предупреждение, а в последующие штраф.

Да, на каждом новом месте новое уведомление с даты заселения.