При замене загранпаспорта РФ в Грузии, старый остаётся на руках? Его как-то аннулируют?

Да, вырезают кусок второй страницы, ставят штамп Аннулировано и отдают.

Менял несколько раз. Делали дыроколом сквозные отверстия и отдавали на память...

Если срок действия не истек то оставляют на руках.

Два действительны, если оба биометрические. Если до этого был без биометрии, то его аннулируют.

Старый остаётся, можете пару загранпаспортов на руках иметь.