Нужно ли по приезде в Германию где-то (например, у ветврача) регистрировать кота?

Нет, никаких зверей у ветврача не нужно регистрировать. По необходимости только потом на прививки и прочее пойдёте. А вот собак надо ставить на учёт в налоговой, на них ежегодный сбор и без жетона/ марки на ошейнике взимают штрафы. Специально никто не контролирует, но может всплыть. Желательно на собаку страховку Hundehaftpflichtversicherung заключить на всякий случай. При чем стоит собаке ущерб кому-то учудить ( дорогу перебежит, аварию спровоцирует), то страховая компания может отказать в погашении ущерба, если собака не зарегистрирована в налоговой.