Скажите, пожалуйста, могут ли быть проблемы с получением визы без официального трудоустройства и что писать в заявлении в графе «работа»? Подойдут ли только выписки из банка?

Правду писать.

Республике Кипр в целом плевать чем вы занимаетесь, лишь бы у вас были легальные деньги (которые вы оставите на острове) в количестве, достаточном, чтобы вы не пополнили ряды нелегальных мигрантов. Безработность не проблема, в тунеядстве вас никто не обвинит.

Писать, что не работаете. Выписки из банка плюс происхождение денег, на которые Вы планируете тут прозябать) на каждый евро подтверждение , откуда они у Вас на счете-договор аренды/продажи/ дивиденды и тд. С самого 0.