Если муж уезжает и подается на ВНЖ в Сербию и его получает, то его жена по приезду может получить его упрощенно? Или как это работает?

У вас доверенность не примут в России без апостиля с непонятными печатями на сербском.

Не совсем упрощено, вы подаетесь на основании «брак са странцем», боровак будет действовать по срокам как у мужа, если загранник не заканчивается в ближайшее время. Подаваться можно вместе с мужем одновременно. Всю информацию можно получить на сайте mup gov rs. Получения боровака займет примерно 2 месяца, сначала записываетесь, ждете 3-4 недели, подаете документы и опять ждете вызова недели 3. Это если в Белграде.