в ес легально работать в другой стране именно по трудовому договору?

Если виза/паспорт позволяет и платятся налоги в Австрии (ну или стране проживания), то чего нет то)

Формально да, но на деле это обычно довольно сложно для компаний, поэтому они выбирают какую-нибудь третью компанию, через которую делается трудоустройство.