В Батуми где и какую симку покупать лучше? Где и какую карту открыть, чтобы перевести на нее рубли?

СИМ - любую. Можно Магти. Сначала зарегистрируйте Золотую корону и юнистрим на свой телефон в РФ и переводите в Грузию по новому грузинскому номеру себе доллары.

Симка Магти или Silknet. Билайн не советую, плохой интернет.