Хочу записаться на подачу документов на французский Шенген в Лондоне. Знаю, что запись на три-четыре месяца вперед.

Не думаю, что они позволят вам в анкете указать один паспорт, а использовать другой. Анкету заполняете до бронирования слота) теоретически можно за 72 часа отменить свой визит и попробовать поймать это время с другого аккаунта, но рискованно.

А такая долгая запись только на французский шенген или везде такая очередь?

Принесете два паспорта, новый и старый. Плюс посмотрите можно ли вносить изменения. Не проверяла, но сделала бы так.