Подскажите, пожалуйста, если у меня поездка в Белград в начале февраля, а загранпаспорт заканчивается в конце апреля, мне можно не оформлять новый загранник? А если всё же нужно, то он также долго около месяца делается?

3 месяца до конца загранника почти табу для всех стран. В РФ паспорт делают за 3-4 недели если подаваться по прописке, но есть очередь на подачу (опять же зависит от города/района).

Пока звучит, что вас имеют право не пустить с таким паспортом в принципе, потому что 3 месяца до конца срока годности не будет.