При записи в визовый центр в Тбилиси на выпуск нового загранпаспорта нет доступных дат на весь 2023 год. Эти дати в какое-то особенное время появляются?

Там необходимо вставать в лист ожидания. Время записи назначается автоматически спустя 2-3 месячная ожидания в очереди В листе ожидания регулярно подтверждаете запись.