Кто знает отсчёт безвизовых дней начинается с нового года или с момента приезда (заехали до нового года)? То есть обнуляется ли отсчёт с нового года?

Нет, ничего не обнуляется. 180-дневный период никогда не заканчивается, он постоянно сдвигается вперёд с каждым днем. От сегодняшней даты или даты предполагаемого въезда в Турцию отматываете назад 180 дней и считаете, сколько за этот период уже провели в Турции. Полученное число вычитаете из числа 90 и получаете количество доступных дней. Не забудьте, что без выезда можно находиться не более 60 дней подряд.