Tax ID выдают в том же месте, где и регистрируют по месту жительства?

Нет, налоговая это отдельное ведомство. Оно само прислало номер через несколько недель.

Мне говорили, что если надо срочно, то там где регистрироваться будем дадут, но за бланк берут небольшую плату. Не знаю, как на деле.

Да, там могут распечатают за отдельную плату, а если хотите бесплатно то идите в налоговую и там скажите в справочной что нужен номер и они распечатают. Вообще номер должен быть готов уже через 1 день после регистрации. Так же недели через 2-3 ещё по почте придёт.