Может, у кого-то есть опыт «переговоров» с миграсьонес о переносе даты подачи документов на ДНИ? Или с ними невозможно договориться никак?

Вы на попозже ? Просто идете в минрасьонес и объясняете ситуацию вашу. Обычно все идут на встречу. Мне так быстрее выдали дни, после похода и вопроса когда будут мои документы готовы (на руках были билеты о вылете из страны). Короче просто попросить.