можно же приехать по обычному паспорту, а при открытии счета, предоставить загранник? Нужно ли чтобы в таком случае в заграннике была отметка о пересечении границы?

Вообще пару месяцев назад искали штамп в заграннике.

В этом случае нужно с собой иметь уведомление о прибытии. Я так открывал.

Может быть возможно достать какую-то справку из миграционной службы о въезде, но это отдельная сюжетная ветка.