подскажите пожалуйста, кто знает, у меня загранка заканчивается в начале июня, в марте хочу приехать в Монголию на несколько дней, пустят меня? Или новый делать надо, в интернете прочитала что не менее чем за полгода с даты выезда.

Такие правила для оформления визы, но тут без нее, по идеи главное что бы вы выехали пока не закончился паспорт, но окончательное решение всегда принимает пограничник.

У меня с Тайландом такая история прошла успешно, паспорт заканчивался через 4 месяца после въезда.

Формально с этим могут быть проблемы, но в большинстве случаев все нормально.