обязанность платить содру возникает автоматически, когда становишься налоговым резидентом литвы даже если не работаешь в литве или это другое?

Содру с момента получения карточки ВНЖ надо платить (постоянного по крайней мере). Это социальный налог, он не имеет отношения к резидентству. Есть варианты не платить его самостоятельно - работать, состоять на бирже труда и застраховаться в больничной кассе с ребенком до 8 лет.