Чтобы сделать рабочую визу Е-6 в Корее, нужно сначала выехать из страны и подать заявление в своей стране? Нельзя всё сделать внутри Кореи?

С-4 (такая же, но краткосрочная) делается 100% в вашей стране, в плане получить надо в ней, возможно это распространяется и на Е-6, уточните в консульстве.