Подскажите, пожалуйста. Мы - гражданские супруги. Хотим по шенгенской визе поехать в Германию и попросить там в посольстве зарегистрировать наш брак.

Лучше через 3ю страну брак заключить сначала, который будет признаваться в ЕС. в Грузию многие за этим летают.

А почему именно в Германии? Погуглить, имеете ли Вы на это право. Вот если один супруг из ЕС, а другой из России, намного легче пожениться вДании.

Учитывайте, что в консульстве не всегда доступны ближайшие даты для получения каких-либо услуг - уточняйте заранее, какие ближайшие даты доступны. Заменить туристическую визу на рабочую не выезжая из Германии - можно, но на усмотрение конкретного чиновника. В "непопулярных" городах и регионах шансы больше для такого продления. И это исключение, а не правило, нельзя на этот вариант полагаться.

Брак заключить сможете в посольстве, только там очереди, но как вы планируете менять статус визы? Я так понимаю, у вас есть туристический шенген, по нему 90 дней и статус поменять на рабочий/еще какой-то официально нельзя.