Подскажите пожалуйста, в мечети шейха Зайда в Абу-Даби девушкам выдают костюмы? И платно ли это? Или лучше в своём приходить?

Абаи не выдают. Можно купить за 45 аед. Но если прийдете по правилам: закрытые плечи и руки, грудь, ноги, щиколотки + закрытая обувь и платок - вас пропустят.