Подскажите, нужно ли оформлять какие-то документы на животных по приезду в Венгрию? Например менять российский международный паспорт на паспорт европейского образца?

Если вы ненадолго и срок прививок ещё не истекают, то можно и не менять. Евросертификат, по которому ввозили, действителен ещё 90 дней для вывоза обратно (или до окончания действия прививки от бешенства). Если же нужно обновлять прививки или прост остаётесь надолго и планируете ездить с животным, то имеет смысл оформить ветпаспорт ЕС. В российский прививки не поставят.