Если я приехал, снял квартиру 4 января, мне сделали уведомление, где написано, что я буду до 20-го. Затем я переезжаю в другое место, мне нужно новое уведомление делать или первое уведомление в любом случае 90 дней действует?

Вы же сами сказали, что уведомление до 20. как оно может действовать 90 дней. Переезжая каждый раз на новый адрес. принимающая сторона должна делать уведомление на срок пребывания. 90 дней тут вообще не причем.

90 дней в любом случае можно быть в Казахстане.

Новое, уведомление же о месте пребывания, если адрес новый то и уведомление новое.