прописался через местный муниципалитет, отразится ли этот адрес в edevlet?

Да. Спустя какое-то время. У меня через 3 недели.

После оформления прописки в нуфусе при имиграционной службе сразу в Э девлете можно проверить и взять выписку пдф. Через Э девлет можно 1 раз в день делать запрос на пдф, со дня запроса документ действителен 1 месяц.