Подскажите, можно ли подаваться на визу (к примеру Итальянскую) в Турции, имея на руках икамет?

Не дадут.

Существует рекомендация странам ЕС не выдавать туристические визы гражданам РФ в консульствах, расположенных не на территории РФ. По этой причине многие получают отказы. Так что, если Вы претендуете на туристический Шенген, вероятность отказа очень высока.