первый раз в корею еду) но российский паспорт нужно с собой на всякий?

Ну возьми на всякий.

Просто более предпочтительно его здесь оставить.

Не нужен.

СНИЛС и ИНН можете тоже оставить .

Если срок загранпаспорта не скоро заканчивается или уверенны, что, если чего вернётесь, то можете не брать) Если нужно будет продлевать заграник вдруг, внутренний паспорт понадобится)