могу ли я обращаться к врачу в Швеции не имея персонального номера? Нахожусь по туристической визе тут, в данный момент продлеваю на visitors permit.

Можно обращаться без персонального номера - главное чтобы вы уже подались на него. Бумага с печатью, которую дают при подаче на номер даёт право на медицинскую помощь, не дожидаясь получения самого номера.