Можно ли сделать внж по лечению? Какие документы для этого требуются? И можно ли подать сразу после отказа в внж по аренде?

Нет нельзя, нужно вылететь и заново подать.

Вы заключаете договор с клиникой и потом его подаёте на внж. По какой причине вам надо задержаться и на сколько - это ведь определяется заболеванием.