Если при прохождении границы говоришь, что будет жить с родственником в Италии, нужно ли какое-то подтверждение этого? И что вообще в таком случае нужно сообщить пограничнику?

Если все-таки спросят, а это в разных городах по разному, могут и приглашение попросить . В любом случае имейте их адрес и копию документа.

Нужно показать приглашение на итальянском. форма приглашения стандартна и есть на сайте ВЦ.