Подскажите, при аренде помесячной квартиры на длительный срок в Ереване и окрестностях - всегда ли составляют договор, и всегда ли он на армянском языке? или на русском тоже практикуют?

Без договора не соглашайтесь снимать хоть в Армении, хоть в России, хоть где: вы деньги, в конце концов, отдаете. Также заключайте договор только с собственником или по официальной доверенности от собственника, который вписан в документы на квартиру. Форма договора, если у собственника ее нет, легко находится в сети. У меня на армянском. Подозреваю, как и везде составляется на официальном языке страны. Для перевода можете воспользоваться камерой гугл-транслейта.

У меня заключен договор, снимаю помесячно.

У меня договор на русском.

По-разному. Кто-то не составляет вообще, кто-то наоборот составляет с заверением у нотариуса. Договор можно составлять на русском или двуязычный если хочется. Для большей безопасности можно заверить.