Подскажите пожалуйста. На ВНЖ Казахстана потребовали некий нотариальный "договор безвозмездного пользования" квартирой. Не подскажете, что это и с чем едят?

Вы с хозяином должны у нотариуса составлять такой договор, от вас нужны документы, разумеется если хозяин согласен такое делать.

Оформляете у нотариуса в присутствии всех собственников, если не один, супругов. И обязательно условие о согласии собственника на вашу постоянную регистрацию по месту жительства. Про срок договора уточните в миграционной. Как правило подходит 11 мес. С 12 мес на собственность обременение накладывается. По этому договору перед выдачей ВНЖ собственник должен будет вас зарегистрировать.