почему некоторые по каким-то причинам пишут (и даже говорят) каспиЙ банк? .

Потому, что изначально банк назывался "Каспийский банк", что на казахском - Каспий Банкі. Потом провели ребрендинг и стал Каспи или Kaspi (типа, если сделаем обрезание как Сбербанк до Сбера, станем такими же крутыми ). Тот, кто помнит банк как Каспийский, называет Каспий.

потому что латиницей не напишешь Каспий, не будет же Kaspii. вот отсюда и пошло каспи.