Подскажите, в Риме обменять доллар на евро, в сумме около 5000-6000, где можно выгодно?

Выгодно тут нигде. В банках не меняют. Можно попробовать в почтобанке, в центральном отделении города, не более 1000 в день. Лучше поменять по дороге, откуда вы едете.